Quaternion Rotation Lab

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Axis-angle 形式

q = \cos(36.0^{\circ}) + (0.35\mathbf i + 0.72\mathbf j + 0.59\mathbf k)\sin(36.0^{\circ})

Pauli-matrix 形式

\begin{pmatrix} 1.000 & 0.000 \\ 0.000 & 1.000 \end{pmatrix}

教学路径

从 quaternion 数到 Pauli matrix。

1. 单位 quaternion 就是一个旋转手柄

单位 quaternion 的 vector part 指向 rotation axis，scalar part 存着 half angle。

q = \cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right) + \hat{\mathbf u}\,\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)

2. 用 conjugation 旋转向量

把 3D 向量写成纯 quaternion，旋转结果就是下面这个 conjugation 的 vector part。

p' = q\,p\,q^{-1}

3. 组合就是乘法

先做旋转 A 再做旋转 B，不是简单地把角度相加，而是 quaternion 乘法，所以顺序很重要。

q_{\mathrm{total}} = q_B q_A

4. q 和 -q 描述的是同一个 3D 姿态

立方体转 360 度就回到原样，但 spinor 的符号翻转了。SU(2) 这个对象要转 720 度才能回到初始符号。

\mathrm{SO}(3) \cong \mathrm{SU}(2) / \{\pm I\}

Pauli 之桥

单位 quaternion 和 SU(2) 用的是同样四个实数自由度。

把单位 quaternion 打包进一个复矩阵： $U(q) = wI - i(x\sigma_x + y\sigma_y + z\sigma_z)$ 。因为 $w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1$ ，这个矩阵是 unitary 的，行列式为一。这正好就是 SU(2)。

这就是为什么一个 3D rotation 既可以描述成 quaternion 作用在向量上，也可以描述成 Pauli-matrix 指数作用在 spinor 上： $U = \exp\!\left(-\frac{i\theta}{2}\,\hat{\mathbf n}\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\right)$ 。 half angle 是两边共享的线索。

$\sigma_x$

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

$\sigma_y$

\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}

$\sigma_z$

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

应用

同一套数学还会出现在哪里。

图形与游戏

相机朝向、角色骨骼和物体动画都用 quaternion，因为它能避免 gimbal lock，还能用 SLERP 平滑插值。

机器人与导航

无人机、手机和机械臂把 IMU 数据融合成姿态 quaternion，再转换成控制坐标系下的旋转。

量子力学

Pauli matrix 生成 SU(2)。一个 single-qubit gate 或 spin-1/2 旋转正是单位 quaternion 的矩阵孪生体。

U = \exp\!\left(-\frac{i\theta}{2}\,\hat{\mathbf n}\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\right)

物理可视化

Bloch sphere 上的运动、角动量、刚体姿态，都能用同一套 axis-angle 和 double-cover 的思路来展示。